Линеаризация

Подавляющее большинство современных эконометрических методов создано для линейных функций. В реальном мире линейные функции встречаются не так уж и часто, однако для их анализа создан богатый и относительно простой в реализации аналитический аппарат (чего нельзя сказать о нелинейных функциях), чем и объясняется столь большая популярность именно линейных методов в эконометрике. Однако что делать, если в ходе исследования вы приходите к выводу, что исследуемая функция регрессии нелинейна? В данной ситуации существует два основных варианта действий:

  • вначале стоит попытаться подобрать такое преобразование к анализируемым переменным, которое позволило бы представить существующую зависимость в виде линейной функции;

  • если линеаризация невозможна, то тогда к исследуемой зависимости необходимо применять методы нелинейной оптимизации на основе исходных переменных, рассмотрение которых выходит за рамки этой лекции.

Оценка параметров нелинейной регрессии по переменным, включенным в анализ, но нелинейным по оцениваемым параметрам, проводится с помощью МНК путем решения систем нормальных уравнений.

Для полинома второго порядка ( ) система нормальных уравнений будет иметь вид:

(40)

Линеаризации поддаются и некоторые другие виды зависимостей:

  • экспоненциальные зависимости.

Некоторые экономические показатели характеризуются приблизительно постоянным темпом относительного прироста во времени. Этому соответствует модель следующего вида:

(41)

Если пренебречь влиянием случайной остаточной компоненты u (т. е. считать, что u = 0), то можно записать:

, (42)

так что относительный прирост y за единицу времени определяется выражением:

(43)

Переход к новой переменной y` = ln y позволяет представить исследуемую зависимость в линейном виде:

(44)

  • Логарифмические зависимости.

Предположим, что исследуемая зависимость имеет вид:

(45)

Переход к линейной зависимости осуществляется с помощью преобразования объясняющей переменной: x’=ln x.

  • Гиперболические зависимости.

Предположим, что анализируемые переменные связаны между собой гиперболической зависимостью вида

(46)

С помощью преобразования объясняющей переменной x’ = исследуемая зависимость приводится к линейному виду

(47)

Для гиперболы ( ) линеаризация проводится также посредством решения системы уравнений:

(48)

При использовании любой формы криволинейной корреляционной зависимости теснота связи между переменными может быть измерена с помощью индекса корреляции, который определяется аналогично коэффициенту корреляции для линейной формы связи.

Уравнение корреляционной связи должно быть по возможности более простым, чтобы сущность изучаемой зависимости между переменными проявлялась достаточно четко, а параметры уравнения поддавались определенному экономическому толкованию. Вопрос выбора соответствующего уравнения связи решается в каждом случае отдельно.